Irgend etwas an der Geschichte muss ein Missverständnis sein. Das Gigaset S850HX hast du NICHT per WLAN an der Internetbox angemeldet. Das S850HX kann nämlich kein WLAN (und hat auch keinen Grund, WLAN zu können).
Allenfalls hast du das S850HX per DECT/catiq an der Internetbox angemeldet. Sinn machen würde das allerdings eher weniger, und mit deiner Smartphone-App hätte das schon gar nichts zu tun.
Ich kenne diese App nicht, aber ich denke wenn schon, dann müsste die Basis (S680) mit dem Netzwerk verbunden sein (was ja der Fall ist) und dann die Kontakte ans Mobilteil weitergeben. Ob das in dieser Konstellation (Basis mit "serienfremden" Mobilteil) allerdings so vorgesehen ist, ist wahrscheinlich nochmal eine andere Frage.